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设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|

(1)

证明:对任意的x∈[-1,1],都有:

x-1≤f(x)≤1-x

(2)

判断函数g(x)=,是否满足题设条件

(3)

在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|?若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

(1)

解析:(1)当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(x)|≤|x-1|=1-x,因此x-1≤f(x)≤1-x.

(2)

  函数g(x)满足题设条件.验证如下:

  g(-1)=0=g(1);对任意u、v∈[0,1]时,|g(u)-g(v)|=|(1-u),(1-v)|=|u-v|;当u、v∈[-1,0],同理|g(u)-g(v)|=|u-v|;当u·v<0,不妨设u∈[-1,0],u∈[0,1],|g(u)-g(v)|=|(1-u),(1-v)|≤|v-u|.

(3)

  假设存在f(x)满足条件,则由f(-1)=f(1)=0 ①.又由于对任意u、v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|=|u-v|,所以|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2②.①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在.

  点评:本题是典型的存在性问题,对此一般都是从假设符合条件的“对象”存在开始探究.


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(精典回放)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:①f(-1)=f(1)=0;②对任意的μ、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤-v|

(1)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明:对任意的μ、v∈[-1,1],都有

|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得:

|f(μ)-f(v)|<-v|,当μ、v∈[0,].

|f(μ)-f(v)|<-v|,当μ、v∈[,1].

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

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设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)判断函数g(x)=是否满足题设条件;

(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|.

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

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(1)求

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(1)求函数f(x)=x3+3x2图像的一个对称点;

(2)函数

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